Saliga äro spelteoretiska ess

Detta är ett gästinlägg av Erik Mohlin, forskare i nationalekonomi vid Lunds universitet och nyutnämnd Wallenberg Academy Fellow.

Årskrönikorna för 2016 har fyllts av berättelser om kändisar och kulturpersonligheter som dött under det gångna året: Prince, Mohamed Ali, David Bowie, Leonard Cohen, Carrie Fisher, Umberto Eco och Alan Rickman, för att nämna några. Tre namn har dock lyst med sin frånvaro i krönikorna, nämligen ekonompristagarna och spelteoretikerna Lloyd Shapley, Reinhard Selten  och Thomas Schelling.

Shapley, Selten och Schelling var alla med och utvecklade spelteorin från att vara ett smalt matematiskt forskningsområde till att bli det dominerande paradigmet för hur nationalekonomer och många andra samhällsvetare beskriver och förstår interaktivt beslutfattande – vare sig det gäller marknader, i politiken, inom en organisation, eller på ett personligt plan. Numera används spelteorin även flitigt av exempelvis datavetare och biologer. I efterhand är det slående hur få de spelteoretiska pionjärerna var och vilket genomgripande inflytande de har haft.

Den mest berömde spelteoretikern är förmodligen John Nash, som var en av dem som mottog 1994 års ekonomipris (tillsammans med bl.a. Selten). I sin avhandling 1950 lade han fram ett jämviktsbegrepp, som sedermera kallas Nashjämvikt. En Nashjämvikt är en situation där ingen part kan förbättra sitt läge genom att ensidigt ändra sitt beteende. Om ingen annan ändrar sitt beteende så har jag alltså inga skäl att ändra mitt beteende. Förhoppningen är att sådana jämviktssituationer skall vara socialt stabila och därmed rimliga förutsägelser om mänskligt beteende.

Man kan dock fråga sig vad som sker om fler än en person tillåts ändra sitt beteende samtidigt. Ett sammanhang där denna fråga kan vara relevant är ”äktenskapsmarknaden” för heterosexuella kvinnor och män. Vi kan tänka oss att det finns lika många kvinnor och män och att alla är gifta med någon. Om två personer som inte gifta med varandra upptäcker att de tycker bättre om varandra än om sina nuvarande makar så kan de skilja sig från sina nuvarande makar och skapa ett nytt par. För att en sådan så kallad matchningsmarknad ska vara stabil räcker alltså inte Nashjämvikt, utan den ska även vara robust mot att flera spelare samtidigt väljer att bete sig annorlunda.

En av Shapleys många fundamentala insatser var att, tillsammans med David Gale, visa att det finns en algoritm som parar ihop två sidor av en matchningsmarknad på ett sådant sätt att inga par riskerar att lösas upp för att några individer har incitament att bryta sig loss och skapa nya par. En liknande situation rör matchning av personer till saker, exempelvis studenter till studentbostäder. (En skillnad är förstås att bostäderna inte har någon åsikt om vem som bor var.) Tillsammans med Herbert Scarf visade Shapley att det finns en algoritm som hittar ett sätt att para ihop studenter med bostäder som är stabilt i den meningen att inga studenter vill byta med varandra. Shapleys pionjärinsatser ledde så småningom till en mängd praktiska tillämpningar där nationalekonomer kunnat förbättra matchning av allt från organdonationer till skolplatser. (Man kan läsa mer om både teorin och tillämpningarna här.)

Seltens främsta bidrag var att anpassa Nashs jämviktsbegrepp till dynamiska interaktioner. Låt oss ta ett enkelt exempel (Seltens så kallade ”chain store paradox”). Ett företag A dominerar en marknad. Företag B funderar på att gå in på marknaden. Om B inte går in så åtnjuter A en fördelaktig monopolposition och gör hög vinst. Om företag B går in på marknaden så kan företag A välja mellan att antingen svara med ett priskrig som gör att både A och B gör förlust eller att sätta ett mera rimligt pris som låter företag A och B dela på marknaden och tjäna åtminstone lite vinst var. Om företag A följer strategin att starta priskrig ifall företag B går in på marknaden så lönar det sig inte för B att gå in. Om företag B inte går in på marknaden så kostar det inte heller något för A att följa priskrigsstrategin. Vi har alltså identifierat en Nashjämvikt – båda beter sig rationellt givet motpartens beteende.

Men det är något som är skumt med den här jämvikten. Om företag B faktiskt gick in på marknaden skulle det inte vara rationellt för företag A att svara med priskrig. Att hota med priskrig är därmed inte trovärdigt. För att komma till rätta med denna och liknande svagheter hos Nashjämviktsbegreppet definierade Selten begreppet delspelsperfekt jämvikt. Detta begrepp kräver att alla deltagare beter sig i enlighet med Nashjämvikt i alla ”delspel”. I vårt exempel innebär det att ifall B går in på marknaden så måste A och B också spela en Nashjämvikt därefter. Priskrig är inte en Nashjämvikt eftersom A kan höja sin vinst genom att avstå. Alltså är den ”skumma” Nashjämvikt vi beskrev ovan inte en delspelsperfekt jämvikt. Genom att istället fokusera på de Nashjämvikter som också är delspelsperfekta jämvikter undviker vi därmed problemet med tomma hot.

Schellings gärning bestod inte främst i att utveckla nya formella teorier och jämviktsbegrepp, utan i att tillämpa spelteorin och låta den generera många slående insikter. Det är svårt att göra hans detaljerade och nyanserade analyser rättvisa i ett blogginlägg.

Schelling var bland annat tidig med att dra slutsatser om hur man paradoxalt nog kan vinna strategiska fördelar genom att på förhand minska sina handlingsmöjligheter. I exemplet med företag A och B så vore det fördelaktigt för A att i förväg avhända sig möjligheten svara på Bs inträde på annat sätt än genom att sänka priset. Men Schelling påpekade också att ett den mest effektiva strategin kan vara att bara delvis begränsa sina möjligheter, dels eftersom den osäkerhet motparten hamnar i kan vara tillräcklig för avskräckning, dels för att det kan vara billigare (och därmed mera trovärdigt) att endast delvis begränsa sina framtida valmöjligheter.

Schelling var också djupt involverad i det kalla krigets avskräckningspolitik. USA och Sovjet hade kärnvapenspetsar riktade mot varandra. Var och en av dem visste att de kunde räkna med en kärnvapenattack om de anföll motparten. Eftersom ett kärnvapenkrig skulle vara förödande så hade båda skäl att avhålla sig från attacker, även med konventionella vapen. (Istället fördes krig via ombud i andra länder.) Man skulle kunna tänka sig att avskräckningen blir extra effektiv om den är automatisk, exempelvis genom att en robot avfyrar kärnvapenmissiler så fort den upptäcker någon fientlig aktivitet på sin radar. Men en sådan absolut regel kan bli otrovärdig just för att man kan tvivla på om motparten vill löpa risken att starta kärnvapenkrig av misstag.

Man kan läsa mer om Schellings insikter här. Ett annat av Schellings bidrag är att visa på hur segregation kan uppstå fastän ingen vill det. Robert har förklarat detta föredömligt klart här på Ekonomistas.

I en kortlek finns som bekant fyra ess. Finns det då någon spelteoretiker, med ett efternamn som börjar på S, som också bör lyftas fram? Jag skulle i så fall föreslå John Maynard Smith. Han definierade år 1973, tillsammans med George R Price, begreppet evolutionärt stabil strategi (ESS). En situation där alla parter använder en evolutionärt stabil strategi är en sorts Nashjämvikt, men inte alla Nashjämvikter är sådana att endast evolutionärt stabila strategier används. Evolutionärt stabila strategier är således en delmängd av ett spels Nashjämvikter. Närmare bestämt tänker man sig en population där alla spelar samma Nashjämviktsstrategi. Man frågar sig sedan vad som skulle ske om en grupp mutanter, som spelar en annan strategi, tog sig in i populationen. Om mutantstrategin skulle tjäna mer än den strategi som ursprungligen dominerade populationen så skulle denna inte vara stabil. Om alla mutantstrategier alltid tjänar mindre än den strategi som ursprungligen dominerade populationen så sägs den vara evolutionärt stabil.

Maynard Smiths arbete blev avgörande för att göra spelteorin relevant för biologer. Så småningom ledde det till uppkomsten av den evolutionära spelteorin som sedan även använts av nationalekonomer för att förstå inlärning och för att undersöka om och när de mer rationalistiskt inspirerade jämviktsbegreppen (exempelvis Nashjämvikt och delspelsperfekt jämvikt) är rimliga förutsägelser. I min mening skulle Maynard Smith ha förtjänat ett ekonomipris, men han dog tyvärr redan 2004.