Ett av de mer omdiskuterade begreppen i spelteori är så kallade blandade Nash-jämvikter. Det verkar märkligt nog som att professionella fotbollsspelare är betydligt bättre än oss andra på att förstår sig på dem.
Tänk att vi spelar följare spel: du och jag har var sitt mynt som vi antingen lägger med klave eller krona uppåt. När vi båda gjort detta visar vi mynten för varandra. Har vi båda vänt olika sidor uppåt, ja, då får jag 100 kronor, medan du i stället får hundra kronor om vi vänt samma sidor uppåt.
Den enda Nash-jämvikten i det här spelet är att båda väljer krona respektive klave med femtio procents sannolikhet. Detta kan nog de flesta lista ut. Svårare blir det om spelet ändras och du får 200 kronor om båda mynten visar krona (men du får bara 100 om båda visar klave). Vad är jämvikten i detta spel?
Din första tanke skulle kunna vara att du borde lägga lite större sannolikhet på krona och att jag borde kontra med att spela klave med större sannolikhet. Det är precis detta som händer när vanliga dödliga spelar det här spelet, vilket har visats i ett flertal experiment (se till exempel sektionen om matching pennies i Jacob Goeree och Charles Holts fantastiska artikel “Ten Little Treasures of Game Theory and Ten Intuitive Contradictions” i American Economic Review från 2001).
Detta beteende är dock inte förenligt med Nash-jämvikt. I jämvikt skall du fortsätta att spela krona och klave med samma sannolikhet. Däremot skall jag spela klave med större sannolikhet precis som experimentdeltagare visat sig göra (två tredjedelars sannolikhet för att vara exakt).
Anledningen till att du inte ska lägga mer sannolikhet på krona är att det i så fall skulle vara bättre för mig att alltid spela klave än krona. Men om det är bättre för mig att spela klave, ja, då borde du ju också göra det, så detta kan knappast vara en jämvikt.
I en artikel i Econometrica från förra året visades dock att professionella fotbollsspelare fattar galoppen, även i betydligt mer komplicerade spel med blandade jämvikter. Det verkar som fotbollsspelare har lärt sig hur blandade jämvikter fungerar utifrån hur straffsparkar i fotboll går till. Straffsparkar handlar ju om att skjuta åt det håll dit målvakten inte kastar sig och det lär bli en dyrköpt erfarenhet om du gör fel när du t.ex. blir du börjar skjuta till höger oftare bara för att du är bättre på högerskruv…
Uppdatering: Jag hade missat en replikering av studien som är under utgivning i Econometrica och som inte finner att fotbollspelare är bättre än andra på att spela blandade jämvikter i abstrakta spel. En tänkbar förklaring till skillnaden i resultat är att spanska fotbollsspelare är klipskare än amerikanska…
Akademisk efterskrift: Ett annat exempel då blandade jämvikter beskriver folks beteende väl är spelet Limbo. Ett sätt att förstå avvikelser från jämvikt såsom den som diskuteras ovan är genom så kallat nivå-k-tänkande, vilket jag diskuterat tidigare här på Ekonomistas. Det bör också nämnas att det finns en annan mindre kontroversiell tolkning av blandade jämvikter, nämligen att det finns en stor population av olika “typer” som alltid väljer en viss strategi (klave och krona-typer) och som genom evolution eller inlärning kommer att fördela sig som jämvikten föreskriver. Men det är en annan historia, som det heter.
Ekonomistas 
Ledsen Robert, men resultatet är inte så bra som studiens författare hoppades.
Se följande papper: Levitt, Steven D., John A. List, and David Reiley, “What Happens in the Field Stays in the Field: Professionals Do Not Play Minimax in Laboratory Experiments,” Econometrica, forthcoming, 2009.
Ni som är duktiga på länkar kanke kan lägga till den någon stans.
En working paper version (den nyaste på google scholar) finns här http://www.u.arizona.edu/~dreiley/papers/ProfessionalsMinimax.pdf
Mycket intressant, Tore, tack för tipset! Jag skulle gärna skriva ett uppföljande inlägg med titeln “Fotbollsspelare är kanske lite dumma ändå” eftersom jag tycker fotboll är både fånigt och ointressant. 😉
Det är svårt att förstå skillnaderna mellan de två studierna. Författarna sammanfattar skillnaderna så här:
“First, our experiments involved fewer repetitions (75 rounds in each role rather than 200 rounds in a single role), and the subjects were told the number of rounds in advance. Second, we conducted the experiments in the soccer teams’ locker rooms, rather than in a university laboratory, and we did not employ screens to hide the backs of a player’s cards from his opponent. Third, the experiments were played between teammates, rather than across teams, and we were not able to obtain enough goalkeepers to ensure one goalkeeper per pair. Finally, the subjects were players from American professional teams rather than from Spanish professional teams. We do not know which, if any, of these differences might have caused the large behavioral discrepancies, but one point of the study is that the previous results on soccer players are not as robust as one might have hoped.”
Den första hypotesen borde lätt kunna testas med hjälp av redan insamlade data genom att titta på de 75 första vändorna i den första studien. Spontant misstänker jag också att det kan spela roll att experimentet gjordes i ett omklädningsrum — det känns inte som den optimala miljön att fundera på abstrakta spel och tänka klart…
Oavsett vad svaret är så visar den här studien hur viktigt det är med replikeringar av studier. All heder åt Econometrica som väljer att publicera en replikering av en tidigare studie!
Tack för ett inlägg som innehåller ordet spelteori! Mera sånt!
Skojigt! Jag måste ju säga att jag hade (och har) mycket svårt att tro att fotbollsspelare är bättre än studenter på att hitta blandade Nash-jämvikter i ett abstrakt spel (och de flesta utespelare slår ju f ö aldrig några straffar, men det kanske man hade tagit hänsyn till), och replikeringen stödjer ju denna skepsis. Nu sparar jag lite tid med att leta efter konstigheter i studien, även om det ju ännu inte är helt klarlagt vad som drev resultaten.
En annan fråga dock: Du skriver Robert att “Straffsparkar handlar ju om att skjuta åt det håll dit målvakten inte kastar sig och det lär bli en dyrköpt erfarenhet om du börjar skjuta till höger oftare bara för att du är bättre på högerskruv…”
Jag antar att du med detta menar att en straffläggare som skjuter bättre till höger än till vänster ändå bör skjuta lika ofta till vänster och höger. Men detta kan väl knappast vara riktigt?
Antag för enkelhets skull att straffläggaren aldrig skjuter utanför eller över (d v s förträng Per-Edmund Mordt och IFK-Barcelona 1986), och att det säkert blir mål om målvakten går åt fel håll. Om spelaren skjuter till höger och målvalten går rätt blir det mål med 50% sannolikhet, medan om målvakten går rätt åt vänster (från skytten sett) så blir det helt säkert inte mål. Nash-jämvikten synes mig då vara att strafläggaren bör skjuta till höger med sannolikheten 2/3, och att målvakten borde gå åt samma håll med samma sannolikhet.
(Eller något mer allmänt: Om sannolikheten för att det blir mål om målvakten går rätt vid skott till höger är PB, och den motsvarande sannolikheten för mål om målvakten går rätt till vänster är PD, så borde straffläggaren skjuta till höger med sannolikheten (1-PD)/(2-PB-PD), och målvakten även gå til höger med samma sannolikhet; om spelaren t ex skjuter så bra till höger att det säkert blir mål så att PB=1 kommer därmed så klart även sannolikheten att han skjuter till höger att bli lika med ett.)
Aj aj, ja, du har helt rätt, Olof, och dina uträkningar stämmer helt. Mitt inlägg har fått en stenhård granskning av två professorer som kan både fotboll och spelteori mycket bättre än jag… Jag tänkte inte på att “bli bättre på högerskruv” inte bara påverkar skyttens förväntade nytta av att skjuta till höger, utan även förstås minskar målvaktens nytta av att kasta sig åt det hållet. Mitt resonemang är riktigt om jag i stället hade skrivit att skytten får en extra belöning om han skjuter åt höger. I det här fallet är den blandade jämvikten ganska intuitiv, men av “fel anledning” — anledningen att spelaren ska skjuta mer till höger är för att göra det mer attraktivt för målvakten att kasta sig åt det håll där han nu är sämre på att fånga bollen.
Robert, om man bor på Söder bör man besöka Söderstadion med jämna mellanrum och vara entusiastiskt intresserad av fotboll. (Reimers räknas till Söder här)
En mindre viktig fråga: Varför ska jag spela en strategi som stödjer en Nash-jämvikt om den inte utgör en dominant strategi (eller är härledd från andra dominanta strategier som i bakåt induktion)? Jag läser mellan raderna i ditt resonemang att jag bör (och är annars mindre begåvad?) spela en strategi som är förenlig med nash-jämvikten. Varför?
Mårten, Söderstadion, är det inte där SM i sten-sax-påse brukar hållas? 😉 Hursomhelst, om du kommer hit så ska vi spela sten-sax-påse så ska jag visa varför du bör spela enligt Nash-jämvikten — du kommer förlora stort om du inte gör det. Din invändning är riktig om man spelar ett spel en enda gång — då kan man lika gärna säga krona eller klave. Men spelar man upprepade gånger mot samma motspelare gäller det att se till att man spelar enligt Nash-jämvikten, annars kan en klipsk motspelare se till att vinna mot dig. På World Rock Paper Scissors Society:s hemsida finns f.ö. mycket matnyttig information om hur man blir bättre på sten-sax-påse: http://www.worldrps.com/.
Om du tror att du är klipskare än motståndaren bör du inte spela Nash-strategin. Nash-strategin är en pessimistisk strategi, du garanterar att du inte förlorar i genomsnitt men också att du inte vinner i genomsnitt.
Här är för övrigt en artikel om en generalisering av sten-sax-påse till n objekt, där för varje par av objekt man kan godtyckligt välja vilket som ska vinna. Intressant nog är det alltid ett udda antal objekt som har positiv sannolikhet att spelas i en optimal strategi.
“Optimal strategies for a generalized ‘Scissor, Paper and Stone’ game”, David C Fisher and Jennifer Ryan, American Mathematical Monthly, december 1992.
http://www.jstor.org.ludwig.lub.lu.se/stable/2324486
(kräver inloggning.)
Det är helt riktigt, Johan, det finns ingen uppsida med den blandade strategin, men man ser i alla fall till att vinna 50% av gångerna. Det som är intressant med sten-sax-påse är att folk inte klarar av att spela den blandade strategin och att man därmed kan tjäna på att försöka utnyttja sådana avvikelser. Det är förmodligen det som triggar folk att ordna mästerskap i denna annars ganska ointressanta “sport”. 😉