Shane Frederick vid Yale har utvecklat ett kort test av kognitiv reflektionsförmåga som består av tre frågor av följande typ: “Ett boll och ett slagträ kostar tillsammans 11 kronor. Slagträt kostar 10 kronor mer än bollen. Hur mycket kostar bollen?” Frågorna har ett intuitivt svar som man de flesta slås av först (1 krona i det här fallet), men om man tänker lite längre inser man att det rätta svaret är ett annat (50 öre). Hur många rätt man svarar på de tre frågorna samvarierar starkt med både intelligens, tids- och riskpreferenser (se t.ex. Fredericks artikel).
Via Greg Mankiws blogg upptäckte jag dock ett fascinerande exempel som tar denna slags hjärngympa ett steg längre. Både det första och andra “intuitiva” svaren är felaktiga, så här ställs verkligen förmågan till kognitiv reflektion på prov…
Ekonomistas 
Exemplet med 11 kronor är inte nytt, utan är taget rakt av från Kahneman. Men visst är det jäkligt intressant. Min tolkning är att vår hjärna evolutionärt inte är skapad för att intuitivt få fram exakta svar, utan svar som är hyfsat korrekta. Om du ska fly från en sabeltandad tiger räcker det att veta ungefär vilken riktning som tar dig i säkerhet. Du behöver inte kunna räkna ut exakta koordinater… Något grovhugget 😉
Och bilden är ett bra exempel på hur knepigt det kan bli med “forward looking variables”…
Intressant är också att Fredericks artikel visar på stora skillnader mellan män och kvinnor i detta test. Skillnader som inte verkar gälla mer traditionella kognitionstest.
Kan någon förklara för mig, som inte är särskilt intelligent, hur bollen kan kosta 50 öre?
10,50 – 0,50 = 10:-
10,50 + 0,50 = 11:-
Jag svarar också för skojs skull 🙂
Bollen och slagträt ska tillsammans kosta 11 kr. Så:
Ekvation 1: boll + slagträ = 11 kr
Slagträt ska kosta 10 kronor MER än bollen. Så:
Ekvation 2: slagträ = boll + 10 kr
Flyttar man ‘slagträ’ i ekvation 1 till höger sida om likamedtecknet så får man:
Ekvation 3: boll = 11 kr – slagträ
Sätter man in högersidan av ekvation 2 istället för ‘slagträ’ i ekvation 3 får man:
boll = 11 kr – (boll + 10 kr) => 2*boll = 1 kr => boll = 1kr / 2 = 50 öre.
Bollen kostar alltså 50 öre. Då följer att slagträt kostar 10kr och 50 öre eftersom:
boll + slagträ = 11 kr
50 öre + slagträ = 11 kr
slagträ = 11 – 0.5 = 10.5 kr
Jag skulle svara B = 50%!
Tanken ar att jag svarar B med 50% sannolikhet och A, C, och D med 1/6 vardera. Då har jag valt ett slumpmässigt svar som med 50% sannolikhet är korrekt.
Eller?
Smart svar. Jag tänkte inte på att man faktiskt kan tillåta sig vilken sannolikhetsfördelning man vill i svaret utan låste mig vid 25procent på vardera. Men kräver inte ditt svar att man utesluter att andra svar inte kan ges med annan sannolikhets fördelning? Eller är alla svar ok så länge man räknar hem dom?
Jag känner förstås inte till lösningen, men för varje svar så verkar det finnas en sannolikhetsfördelning som legitimerar svaret.
Så jag skulle anta att alla svar är ok så länge de motiveras korrekt.
Min hjärna stannade när jag insåg att inte heller B går. Konsulterade några klokare kollegor och de föreslog: Om det är en fråga så är svaret 0%.
Förutsatt att boll+slagträ inte är ett paketpris, dvs att priset för bara en boll eller bara ett slagträ inte går att härleda ur priset för boll+slagträ!
Inget av alternativen är korrekta, så rätt svar är att inte välja något av de alternativen eftersom alla är fel.
Dock tycker jag att alternativet med 60% borde varit 0%, så hade man fått en självmotsägelse istället för att bara sakna lösning.
yxhuvud och Andreas J, jag förstår faktiskt inte varför inga alternativ är korrekta. Tolkar ni “random” som en uniform fördelning?
Jag kan se faktiskt hur alla alternativ kan vara korrekta.
Tillexempel om man gissar med 1/8 sannolikhet på A) och D) och sprider ut resterande 3/4 på B) och C), så kommer man med 25% sannolikhet ha svarat 25%, vilket väl i så fall är rätt?
Jag gillar verkligen din påhittiga lösning, Pontus! När man säger “slumpmässig” i sådana här sammanhang tror jag man i vardagsspråk så gott som alltid menar en uniform fördelning, men det sägs ju inte uttryckligen.
Jag anser att man lika gärna kan ställa upp denna fråga
Givet fallen:
a) x
b) x
c) y
d) z
Vilken, vid ett slumpmässigt val, är sannolikheten att du kommer välja rätt?
a) 25 %
b) 50 %
c) 60 %
d) 25 %
Ja, det beror ju förstås på vad som är rätt. För att anknyta till det som står på tavlan:
Om 25% (x) är rätt svar så är det 50% att få det, därför är B rätt i det fallet.
Om 50% (y) är rätt svar så är det 25% att få det, därför är A och D rätt i det fallet.
Om 60% (z) är rätt svar så är det 25% att få det, därför är A och D rätt i det fallet.
Sannolikheten att få rätt svar är 0.
En förutsättning är förstås att “choose at random” här betyder att man lottar ett svar A till D med samma sannolikhet.
i) om man antar att 25% är rätt svar, så har man 50% sannolikhet att få 25% (alternativ A och D). Alltså har man en motsägelse och 25% kan inte vara rätt svar.
ii) om man antar att 50% är rätt svar så är det 25% sannolikhet att få det. Detta är en motsägelse och kan alltså inte vara rätt svar. Samma sak gäller alternativet 60%
Eftersom inget riktigt alternativ finns att välja på är sannolikheten att dra det riktiga svaret 0%.
QED
Ok, nä. Att man har 50% sannolikhet att få alternativet 25% när man plockar sina tal är en hatt är väl ingen motsägelse?
Säg att du har 4 lappar i en hatt, det står 25%, 25%, 50% och 60% på lapparna.
Har du inte 50% chans att plocka en lapp det står 25% på?
Det blir förstås förvirrande när alternativen är uttryckt i procent. 50% är inte 25%, väldigt riktigt. Det är en motsägelse, men sannolikheten att få alternativet 25% är 50%, är ingen motsägelse.
Jag vill dock tillägga att det inte går att svara på frågan med ett svar utan att veta vad rätt svar är eftersom det inte är en uniform distribution.
Kanske svarar jag för snabbt men rätt svar, synes det mig, är 25% om jag väljer baserat på likformig slumpmässig fördelning. Att det finns två alternativ med 25% förändrar ingenting.
Antag att det bara fanns ett alternativ, A, med 25% (och andra sannolikheter förknippade med övriga alternativ). Då hade de flesta tyckt att svaret vore uppenbart, d v s att A vore rätt.
Antag att det stod 25% på alla alternativ, vad hade då varit rätt? Svaret är uppenbart igen 25%. Visserligen vet jag inte vilket av alternativen A till D som är korrekta, men med 25% sannolikhet kommer jag att välja rätt.
Kanska var argumentationen något otydlig. Formellt, antag att sannolikheten för att antingen A eller D är korrekt är x, så att sannolkheten för att B eller C är korrekt är 1-x. Sannolikheten för att jag väljer A eller D är 0.5 vid likformig fördelning. Sannolikheten för att jag väljer korrekt är då 0,25x + 0,25x = 0,5x. Vid en likformig bakomliggande fördelning (och inte bara likformigt val av mig) är x 0.5, så att sannolikheten för att jag väljer korrekt är 0,25.
Svarade nog för snabbt, utgick från att endast ett alternativ är det korrekta även om de beskrivs likadant, d v s att A kan vara sann och D osann, vilket nog inte var meningen…
Men visst är det som Olle säger. Det korrekta svaret är 0%. Om man väljer slumpmässigt bland alternativen är sannolikheten att man väljer detta just 0%.
I just detta fall är varken 25% eller 50% korrekt, eftersom man väljer det första med sannolikheten 0.5 och det andra med sannolikheten 0.25.
Om man räknar de två förekomsterna av svaret 25% som ett alternativ (vilket det i praktiken är) skulle det korrekta svaret vara nåt av 0, 1/3, 2/3 eller 1. Men inget av dessa listas, så även då måste svaret vara 0.
Men vi kan titta på problemet mer generellt. Finns det någon uppsättning av alternativ där det finns mer än ett korrekt svar?
Ursäkta att jag kommenterar mig själv, men vad skulle ni svara om alternativen var dessa:
a) 0%
b) 100%
@Kapten Haddock
Om 0% skulle funnits med i alternativen skulle jag säga att detta varit ett problem utan lösning (på det sätt som du och jag tolkat problemställningen). Inget konstigt med det egentligen, finns många ställda matematiska problem som saknar lösning.
Jo, så tänkte jag också. Om man tänker sig att sannolikheten för vilket alternativ man väljer är fördelad på ett annat sätt än enligt en likformig fördelning (som pontus föreslår) kan vilket alternativ som helst i vilken uppsättning av alternativ som helst vara korrekt. (Förutsatt att de värden som anges är möjliga som sannolikheter, förstås.)
Man kan tänka sig en uppsättning som denna:
a) 25
b) 75
c) 75
d) 75
Här kan man tycka att både 25% och 75% är korrekt, men i så fall är ju ingen av dem korrekt! Min slutsats är att det inte finns nån variant av detta problem där mer än ett svar är korrekt.
Förutsatt att ett av dessa alternativ är rätt, så skulle svaret kunna vara 1/3.
Tankebana: Det finns 4 svarsalternativ, men två är lika. Det lämnar kvar 3 olika alternativ att gissa på.
Ett av dessa tre förutsätts vara rätt, och om du slumpmässigt väljer ett alternativ borde det vara 1/3 chans att du gissar rätt, eller?
Ett svar på en multipel choice kan ibland vara att man kryssar två alternativ. Om man slumpmässigt väljer två alternativ på denna lista så är det 25procents sannolikhet att detta säger 25procent. Inget säger ju att svar måste adderas.
Kreativt, Mats! Men det kräver också förstås att man kan välja tillexempel två (a) eller två (d) …
Nja, jag menar att det finns fyra alternativ ett som innebär att man ringar in 25 och 50 ett som innebär att man ringar in 25 och 60 ett där man ringar in 50 och 60 och ett där man ringar in 25 och 25. Bara i det senare fallet har man ett svar som innehåller två sanna påståenden om sannolikheten för att välja ett sant svar.
Hade det inte varit en ännu mer intressant fråga om svarsalternativen var
i) 25%
ii) 50%
iii) 0%
iv) 25%
Då hade det ju inte funnits något korrekt svar, ens utanför de alternativ som ges. Nu finns ju trots allt ett korrekt svar (0%) .
Frågan hade då tillhört samma logiska familj som Russels berömda paradox, där sanningsvärdet av vissa satser är odefinierad. T ex: Barberaren är den i staden som rakar alla som inte rakar sig själva. För vem rakar då barberaren?
Bollen som kostar 50 öre tänker man nog fel på mest för att lösningen verkar så uppenbar att man inte ens bryr sig om att kontrollräkna. Så fort man gör det inser man ju snabbt sitt misstag.
Jag lutar åt att rätt svar är 0% av de skäl som sohvan skriver i kommentarsfältet här: http://richardwiseman.wordpress.com/2011/10/31/answer-to-the-friday-puzzle-128/
vilket olle redan konstaterat här ovan, ser jag precis.. 🙂
Rätt svar kommer här:
Med 50% sannolikhet väljer du a (25%) eller d (25%)
Med 25% sannolikhet väljer du b (50%) eller c (60%)
Alltså, hur du än gör så har du 0% sannolikhet att välja ett svar som motsvarar den sannolikhet du väljer med.
Föutsatt uniform fördelning…
Hade däremot svarsalternativen varit:
a häst
b gris
c ko
d häst
så beror svaret på vilket djur som är rätt
50% om det är häst, 25% om gris eller ko
men eftersom vi inte vet vilket som är rätt, blir sannolikheten att träffa rätt
bland i realiteten 3 alternativ (häst, gris, ko)
(50+25+25)/3=1/3
Vilket inte heller fanns med bland de ursprungliga alternativen… så 0 är rätt.