Här följer ett gästinlägg av Per Hortlund, ekonomie doktor från Handelshögskolan, verksam som utredare vid Handelns Utredningsinstitut.
Många kommer säkert ihåg den lustiga situation som uppstod under fotbolls-EM 2004, då Sverige och Danmark skulle gå vidare från gruppspelet på Italiens bekostnad om bara matchen Sverige-Danmark slutade 2-2. Vilket också skedde. Det talades då om att matchen var uppgjord. De framsynta hade emellertid insett att även om matchen inte gjordes upp på förhand skulle matchen ändå sluta 2-2. Detta resultat var nämligen Nash-jämvikten i ett icke-kooperativt spel. Genom att tillämpa ekonomisk teori kunde man tjäna sig en hacka hos vadhållningsbyråerna.
På förunderligt vis upprepar sig nu exakt samma situation under EM 2012! Den den 18 juni spelar Spanien och Kroatien sista gruppspelsmatchen. Båda lagen går vidare, på Italiens bekostnad, om matchen dem emellan slutar 2-2. Precis som förra gången är det i förhandssnacket tal om uppgjorda matcher. Och precis som 2004 visar ekonomisk teori att Nash-jämvikten inträffar vid 2-2, även under icke-kooperativa förutsättningar. Nedan visas payoff-matrisen för matchen Spanien-Kroatien (under förutsättning att Italien slår Irland).
Nu är tiden att få lite praktisk nytta av lektionerna i spelteori. Resultatet 2-2 ger just nu 6 gånger pengarna hos Betsson. Förunderligt nog samma odds som förra gången.
Ekonomistas 
Hänger inte riktigt med på modellen. Väljer ett fotbollslag om de ska göra 0, 1 eller 2 mål (men inte 3,4,5…)? Föga förvånande vill då båda fotbollslagen göra så många mål som möjligt.
om jag minns mina spel rätt så är det på följande vis:
den första siffran motsvarar Spaniens utfall, medan den andra motsvarar Kroatiens. (1,-1) motsvarar alltså ett resultat som leder till att Spanien går vidare men inte Kroatien, medan (-1,1) motsvarar ett resultat som leder till att Spanien inte går vidare medan Kroatien gör det. av utfallens kodning kan vi alltså utläsa att vid 0-0 och 1-1 avancerar Spanien men inte Kroatien. det går för övrigt lika bra att koda utfallen (A,B) eller (1,0).
anledningen till att det inte finns fler strategier än 0, 1, eller 2 mål är att jämvikten (den punkt där det inte lönar sig för någon spelare i spelet att byta strategi, dvs försöka göra ett till mål) uppnås vid 2-2.
som påpekats av HM bygger detta på att det inte är fördelaktigt att vinna gruppen jämfört med en andra plats. det antagandet är uppfyllt om det är tillräckligt osäkert vilka lag de kommer möta i sina respektive kvartsfinaler.
Inte om man tar in i beräkningen att det är en fördel att vinna gruppen jämfört med att komma två väl?
Dels finns ju flera Nash-jämvikter utöver 2-2, d v s 3-3, 4-4 etc, om vi bortser från problematiken med att det kan vara en fördel att vinna gruppen.
Dessutom, och viktigare, är att det ju rör sig om ett dynamiskt, sekventiellt spel. Vilket lag litar tillräckligt mycket på det andra laget för att vilja släppa in första målet?
Om spelmarknaden ansett att det fanns en unik Nashjämvikt vid 2-2 (och vi bortser från 3-3 etc) så skulle ju f ö Nashjämvikten på denna marknad bli att oddsen för 2-2 konvergerar mot 1.
Det faktum att oddsen är såpass höga på 2-2 kan då antingen tolkas som en ineffektiv spelmarknad till följd av att spelarna (i vadhållningen, inte fotbollsspelarna) inte kan klura ut just det som står i varenda kvällstidning, eller att det finns goda grunder för att misstänka att koordinationsproblemen är stora. Jag tror på det senare.
Vad är en realistisk prognos på utvecklingen av grundpensionens storlek de närmaste 20 åren mot bakgrund av “Peak Oil”?
Att sätta sannolikheten 1 för resultatet 2-2 är väl för mycket att begära. Men det finns trots allt en logik som talar för utfallet. Om vi ser på matchen Sverige-Danmark hade danskarna starka incitament att ta ledningen. Vilket de gjorde. Nu blev det plötsligt fart på svenskarna, som flängde som jehun för att kvittera. Vilket de gjorde. Varvid det var danskarnas tur att anstränga sig. Vid kvitteringen 2-2 inträffade så den allmänna förnöjsamheten. Svenskarna stod på sin planhalva och spelade bollen mellan varandra. Danskarna stod på sin planhalva och tittade på. Det är sällan man får tillfälle att se en Nash-jämvikt så där, live och på tv.
Med tanke på att den överväldigande majoriteten av spelare inte känner till icke-kooperativ spelteori är oddset för 2-2 antagligen för högt (givet att det inte finns en övervikt av konspirationsteoretiker bland spelarna). Nu är därför läge för nationalekonomer att utnyttja sin insidesinformation och ta chansen att för en gångs skull tjäna sig en hacka.
Det räcker väl att det finns ett tillräckligt antal spelare med tillräckligt mycket pengar för att oddset ska sjunka ändå, även om en stor del av spelarna inte tänker på detta sätt. Men jag håller med Olof, tror att många spelare tänker på detta, och att det rentav skulle kunna bli för hårt spel på 2-2, och att det ändå finns ett stort koordinationsspel. Men…. säg att det står 2-2, att då spela på att det inte blir fler mål i matchen, det kan ju inte ge höga odds.
Jag är rätt övertygad om att de allra flesta spelare intuitivt känner till begreppet icke-kooperativ jämvikt eftersom det inte är ett alltför ovanligt scenario i många ligasporter.
Min reflektion är att det är olyckligt att det kan bli så här. Lät man total målskillnad vara viktigare än den för inbördes möten skulle Italien kunna påverka utfallet (genom att slå Irland med tillräckligt mycket). Nackdelen med detta skulle vara att det kan bli “orättvist” att vissa lag får möta soplagen (Irland och Sverige) i sista omgången, lag som då inte har mycket att spela för (hur hårt kommer t ex Zlatan spela mot Frankrike nu?). Men jag tycker ändå det vore en bättre regel.
Per H, det är klart att det finns en ökad sannolikhet för att 2-2 blir resultatet givet förutsättningarna. Jag skulle dock gärna sätta 100 kronor på att det inte blev 2-2 om du skulle sätta emot. Anledningen är koordnationsproblematiken på vägen till 2-2 som inte är trivial. Tyskland-Österrike spelade 1-0 1982 som ledde till att båda gick vidare. Där gjorde Tyskland mål tidigt och båda slutade spela (ungefär som Sverige-Danmark på slutet i den matchen).
Däremot tror jag inte att nationalekonomer har något nämnvärt informationsövertag. Visst kan vi lite mer formell spelteori, men detta spel är så enkelt att jag tvivlar på att det ger någon extra hjälp i detta fall. Min bror som t ex aldrig läst vare sig spelteori eller ekonomi tänkte t ex ut detta snabbare än vad jag gjorde när vi talade om EM allmänt innan Spanien vunnit över Irland och innan tidningarna skrivit om det.
Om man istället tittar faktiskt på matchen ifråga så var det inte så svårt att observera att båda lagen spelade för seger i en tämligen intensiv match fram tills dess att resultatet blev just 2-2 och då började båda lagen ta det lite lugnare.
Olof J-S,
Tack för erbjudandet om spel. Då du emellertid erbjuder mig oddset 2 ggr pengarna för resultatet 2-2 och Betsson samtidigt erbjuder 6 ggr, väljer jag att lägga en hundring hos dem. Bollen är rund!
Det gör du självklart rätt i Per! Jag ville mest illustrera att min subjektivt upplevda sannolikhet för 2-2 är (klart) mindre än 50%, trots att det ju är en Nashjämvikt (om vi bortser från gruppvinstprolematiken), lycka till!
Jag valde, mest för skojs skull, att satsa lite pengar på just resultatet 2-2 i den matchen. Oddset var 6,85. Eftersom jag anser att sannolikheten är större än 1/6,85 = 0,146 att en sån här typ av match (där båda lagen går vidare vid resultatet 2-2) slutar 2-2, så tycker jag att det är helt rätt att satsa pengar på det! Sen behöver man givetvis inte satsa hela sin förmögenhet på det resultatet 🙂
Japp, och sà blev det 0 – 1. Märkligt att verkligheten inte konformerar till teorierna.
Ulf, det fanns ju givetvis inte någon som trodde att sannolikheten var 1 (blandannat kan inte fotbollslag “välja” hur många mål de vill göra, som teorin ovan utgår ifrån). Men oddsen för ett 2-2 avslut gick från 18 till 2.5 på bara några timmar efter det blev känt att ett sådant resultat skulle innebära kvalificering för båda lagen. Utifrån det perspektivet så var väl analysen ganska träffande?